# Ước chung lớn nhất tiếng anh

Nội dung về ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất được giảng dạy từ lớp 6 THCS. Một số thuật ngữ và các kiến thức cơ bản

The greatest common divisor (GCD), highest common factor (HCF) of $n$ numbers $a_1,a_2,\ldots, a_n$ divides all $a_i$ for $i=1, 2,..., n$: ước chung lớn nhất.The least common multiple (LCM) of $n$ numbers $a_1,a_2,\ldots, a_n$ is divisible by all $a_i$ for $i=1, 2, \ldots, n$.gcd$(a,b)\times$lcm$(a,b)=a\times b$.If $\gcd(a,b)=1$ then $a=dm$, $b=dn$ for $(m,n)=1$. We say that $m, n$ are relatively prime. Ta nói rằng $m,n$ nguyên tố cùng nhau.If lcm$(a,b)=c$ then $c=am$. $c=bn$ for $(m,n)=1$.

Bạn đang xem: Ước chung lớn nhất tiếng anh

Example 1. Find the greatest non-zero whole number $n$ such that $364, 414$, and $539$ give the same remainder when divided by $n$. Tìm số tự nhiên $n$ lớn nhất sao cho khi chia $364$, $414$, $539$ cho $n$ ta được ba số dư bằng nhau.

Solution. The differences of two of the three numbers $539-414$, $539-364$, and $414-364$ are all divisible by $n$. This means $n$ is a common divisor of $125, 175$ and $50$. To maximise $n$, we find $\gcd(125, 175, 50)$. By prime factorisation, $125=5^3, 175=5^2\times 7$, $50=2\times 5^2$. Then, $\gcd(125, 175, 50)=5^2$. Ans: $n=25$.

Hiệu của hai trong ba số $539-414$, $539-364$, $414-364$ đều là bội số của $n$. Tức là $n$ là một ước chung của $125, 175$ và $50$. Để tìm $n$ nhỏ nhất, ta tìm ước chung nhỏ nhất của ba số $(125, 175, 50)$. Phân tích ra thừa số nguyên tố, ta có $125=5^3$, $175=5^2\times 7$, $50=2\times 5^2$. Từ đó, $\gcd(125, 175, 50)=5^2=25$. Đáp số $n=25$.

Example 2. Find the least possible whole number $n$ such that $n$ give remainders $2, 3, 4$ when divided by $3, 5,$ and $7$ respectively. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất $n$ mà cho số dư $2, 3, 5$ khi chia cho $3,5, 7$, tương ứng.

Solution. For some positive integers $a, b,c$ we have$$n=3a+2,\; n=5b+3,\; n=7c+4.$$It follows that $2n=3(2a+1)+1$, $2n=5(2b+1)+1$, and $2n=7(2c+1)+1$ which give the same remainder $1$ when divided by $3, 5, 7$. Thus, $2n-1$ is divisible by all $3, 5, 7$. To minimise $n$, we find the least common multiple of $(3,5,7)$. Then $n=53$. Ans: $53$.

Example 3. Find a three-digit number that gives remainders $8$ and $16$ when divided by $17$ and $25$. Tìm tất cả các số nguyên có ba chữ số mà cho các số dư $8$, $16$ khi chia cho $17$ và $25$, tương ứng.

Solution.Let $n$ be the three-digit number. Then $n=8+17a$, and $n=16+25b$. From this, $$n+9=17a+17,\; n+9=25b+25,$$ which implies that $n+9$ is divisible by $17$ and $25$. To minimise $n$, we find the least common factor of $17$ and $25$, which is $425$. Ans: $416$ and $841$.

Gọi $n$ là số có ba chữ số cần tìm. Thế thì $n=8+17a$, và $n=16+25b$, với $a,b$ là các số nguyên nào đó. Từ đây $n+9=17a+17$ và $n+9=25+25b$, điều đó có nghĩa là $n+9$ là bội chung của $17$ và $25$. Để tìm giá trị nhỏ nhất của $n$, ta tìm bội chung nhỏ nhất của $17$ và $25$, tức là $425$. Đáp số $416$, $841$.

Example 4. Suppose that $n$ is a positive integer not exceeding $500$ that gives remainders $8$ and $13$ when divided by $15$ and $35$ respectively. Find the sum of all possible values of $n$.

Hint. $n+22$ is divisible by $15$ and $35$. The sum is $83+188+293+398=962$.

Example 5. Find the number of divisors of $18^{96}$. Tìm số ước của số $18^{96}$.

Lời giải. $18^{96}=3^{192}\times 2^{96}$. The number of factors is $(96+1)(192+1)=18721$.

Example 6. Prove that a non-zero whole number is a perfect square if and only if the number of its factors is odd. Chứng minh rằng một số tự nhiên lớn hơn $0$ là số chính phương khi và chỉ khi ước số của nó là số lẻ.

Solution. Assume that $n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}$ for $p_i$ is some prime number and $\alpha_i\in\mathbb N$. If $n$ is a perfect square, then $\alpha_1, \alpha_2,\ldots, \alpha_k$ are even numbers. And the number of its factors is given by $(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)\cdots(\alpha_k+1)$, which is an odd number.

Example 7. Show that a whole number $n$ that is the sum of three perfect squares of three consecutive natural numbers does NOT have exactly $17$ divisors. Chứng minh rằng một số tự nhiên$n$ là tổng bình phưởng của ba số tự nhiên liên tiếp thì không thể có đúng $17$ ước số.

Solution. $n=(d-1)^2+d^2+(d+1)^2=3d^2+2$, which is not a perfect square. This implies that $n$ does not have an odd number of factors.

Example 8. Prove that the following fraction is irreducible for all $n\in \mathbb Z$. Chứng minh rằng phân số sau là tối giản với mọi $n\in\mathbb Z$.

$$\frac{21n+4}{14n+3}.$$

Solution. Assume that $d$ is a common divisor of the numerator and the denominator, that is, $d=(21n+4,14n+3)$. Then, both $2(21n+4)$ and $3(14n+3)$ are divisible by $d$. It follows that $3(14n+3)-2(21n+4)=1$ is also a multiple of $d$, which means $d=1$. Hence, the fraction is irreducible.

The idea of multiplying the two numbers $2, 3$ to the numerator and denominator is to cancel the variable $n$ to give rise to a constant in the difference.