ước chung lớn nhất tiếng anh

Nội dung về ước thông thường lớn số 1, bội tầm thường nhỏ tuổi nhất được huấn luyện và giảng dạy từ bỏ lớp 6 THCS. Một số thuật ngữ và các kiến thức cơ bản

The greathử nghiệm common divisor (GCD), highest common factor (HCF) of $n$ numbers $a_1,a_2,ldots, a_n$ divides all $a_i$ for $i=1, 2,..., n$: ước phổ biến lớn số 1.The least common multiple (LCM) of $n$ numbers $a_1,a_2,ldots, a_n$ is divisible by all $a_i$ for $i=1, 2, ldots, n$.gcd$(a,b) imes$lcm$(a,b)=a imes b$.If $gcd(a,b)=1$ then $a=dm$, $b=dn$ for $(m,n)=1$. We say that $m, n$ are relatively prime. Ta nói rằng $m,n$ nguyên ổn tố cùng nhau.If lcm$(a,b)=c$ then $c=am$. $c=bn$ for $(m,n)=1$.

You watching: ước chung lớn nhất tiếng anh

Example 1. Find the greathử nghiệm non-zero whole number $n$ such that $364, 414$, and $539$ give sầu the same remainder when divided by $n$. Tìm số tự nhiên và thoải mái $n$ lớn số 1 sao để cho lúc phân chia $364$, $414$, $539$ mang đến $n$ ta được cha số dư cân nhau.

Solution. The differences of two of the three numbers $539-414$, $539-364 $, and $414-364$ are all divisible by $n$. This means $n$ is a common divisor of $125, 175$ và $50$. To maximise $n$, we find $gcd(125, 175, 50)$. By prime factorisation, $125=5^3, 175=5^2 imes 7$, $50=2 imes 5^2$. Then, $gcd(125, 175, 50)=5^2$. Ans: $n=25$.

Hiệu của nhì trong cha số $539-414$, $539-364$, $414-364$ rất nhiều là bội số của $n$. Tức là $n$ là một ước thông thường của $125, 175$ và $50$. Để tra cứu $n$ nhỏ tuổi tuyệt nhất, ta search ước bình thường nhỏ dại tuyệt nhất của ba số $(125, 175, 50)$. Phân tích ra thừa số nguim tố, ta tất cả $125=5^3$, $175=5^2 imes 7$, $50=2 imes 5^2$. Từ kia, $gcd(125, 175, 50)=5^2=25$. Đáp số $n=25$.

Example 2. Find the least possible whole number $n$ such that $n$ give remainders $2, 3, 4$ when divided by $3, 5,$ & $7$ respectively. Tìm số thoải mái và tự nhiên nhỏ dại duy nhất $n$ mà lại cho số dư $2, 3, 5$ khi phân chia đến $3,5, 7$, tương ứng.

Solution. For some positive integers $a, b,c$ we have$$n=3a+2,; n=5b+3,; n=7c+4.$$It follows that $2n=3(2a+1)+1$, $2n=5(2b+1)+1$, và $2n=7(2c+1)+1$ which give the same remainder $1$ when divided by $3, 5, 7$. Thus, $2n-1$ is divisible by all $3, 5, 7$. To minimise $n$, we find the least comtháng multiple of $(3,5,7)$. Then $n=53$. Ans: $53$.

Example 3. Find a three-digit number that gives remainders $8$ và $16$ when divided by $17$ & $25$. Tìm toàn bộ những số nguyên ổn có cha chữ số nhưng cho các số dư $8$, $16$ Lúc chia cho $17$ với $25$, khớp ứng.

Solution.Let $n$ be the three-digit number. Then $n=8+17a$, and $n=16+25b$. From this, $$n+9=17a+17,; n+9=25b+25,$$ which implies that $n+9$ is divisible by $17$ và $25$. To minimise $n$, we find the least comtháng factor of $17$ and $25$, which is $425$. Ans: $416$ & $841$.

call $n$ là số gồm cha chữ số buộc phải search. Thế thì $n=8+17a$, và $n=16+25b$, cùng với $a,b$ là các số nguyên như thế nào đó. Từ phía trên $n+9=17a+17$ cùng $n+9=25+25b$, điều này Có nghĩa là $n+9$ là bội bình thường của $17$ và $25$. Để tra cứu cực hiếm nhỏ tốt nhất của $n$, ta search bội chung nhỏ dại tốt nhất của $17$ cùng $25$, Tức là $425$. Đáp số $416$, $841$.

Example 4. Suppose that $n$ is a positive integer not exceeding $500$ that gives remainders $8$ and $13$ when divided by $15$ and $35$ respectively. Find the sum of all possible values of $n$.

See more: Công Thức Hóa Học Của Vôi Tôi Là Gì? Canxi Hydroxit Hóa Học Không Chỉ Là Một Môn Học

Hint. $n+22$ is divisible by $15$ and $35$. The sum is $83+188+293+398=962$.

Example 5. Find the number of divisors of $18^96$. Tìm số ước của số $18^96$.

Lời giải. $18^96=3^192 imes 2^96$. The number of factors is $(96+1)(192+1)=18721$.

Example 6. Prove that a non-zero whole number is a perfect square if and only if the number of its factors is odd. Chứng minch rằng một vài thoải mái và tự nhiên to hơn $0$ là số chủ yếu pmùi hương Lúc và chỉ lúc ước số của chính nó là số lẻ.

Solution. Assume that $n=p_1^alpha_1p_2^alpha_2 cdots p_k^alpha_k$ for $p_i$ is some prime number và $alpha_iinmathbb N$. If $n$ is a perfect square, then $alpha_1, alpha_2,ldots, alpha_k$ are even numbers. And the number of its factors is given by $(alpha_1+1)(alpha_2+1)cdots(alpha_k+1)$, which is an odd number.

Example 7. Show that a whole number $n$ that is the sum of three perfect squares of three consecutive sầu natural numbers does NOT have sầu exactly $17$ divisors. Chứng minc rằng một số từ nhiên$n$ là tổng bình phưởng trọn của tía số thoải mái và tự nhiên liên tục thì không thể bao gồm đúng $17$ ước số.

Solution. $n=(d-1)^2+d^2+(d+1)^2=3d^2+2$, which is not a perfect square. This implies that $n$ does not have sầu an odd number of factors.

Example 8. Prove sầu that the following fraction is irreducible for all $nin mathbb Z$. Chứng minh rằng phân số sau là về tối giản với đa số $ninmathbb Z$.

$$frac21n+414n+3.$$

Solution. Assume that $d$ is a common divisor of the numerator và the denominator, that is, $d=(21n+4,14n+3)$. Then, both $2(21n+4)$ và $3(14n+3)$ are divisible by $d$. It follows that $3(14n+3)-2(21n+4)=1$ is also a multiple of $d$, which means $d=1$. Hence, the fraction is irreducible.

See more: Bỏ Túi Cách Ghép Ảnh Vào Bài Hát, Ghép Ảnh Vào Nhạc Mp3

The idea of multiplying the two numbers $2, 3$ lớn the numerator & denominator is lớn cancel the variable $n$ khổng lồ give rise to lớn a constant in the difference.